Muss ich das (eventuell) beigefügte Schreiben „Gehalts- bzw. Lohnauskunft“ an meinen Arbeitgeber weitergeben?

Nicht unbedingt: Falls Sie Ihre vollständigen Lohnabrechnungen für den dort erfragten Zeitraum besitzen, genügt es, wenn Sie selbst Ihre Lohnabrechnungen als Kopie an das Jobcenter senden.